Vad är området och volymen på en cylinder?

En cylinder är en tre - Dimensionell geometrisk fast ämne med två kongruent, Parallella cirkulära baser anslutna med en krökt yta. Linjesegmentet som sammanfogar centra för de två baserna kallas cylinderens axel. När axeln är vinkelrätt mot baserna, det är en högercylinder, som är den mest studerade typen. De viktigaste mätningarna för en cylinder är radie (\(r )) av den cirkulära basen och höjd (\(h )) av cylindern, som används för att beräkna både området och volymen.

Ytan på en cylinder kan delas upp i två huvudkomponenter: de sidoytan och total ytarea.

Sidoytan avser området på den böjda ytan som lindas runt cylindern, exklusive de två cirkulära baserna. Att förstå hur man beräknar det, Föreställ dig att "rulla upp" den böjda ytan på cylindern. När det är plattat, det bildar en rektangel. Längden på denna rektangel är lika med omkretsen för den cirkulära basen, som beräknas med formeln \(C = 2 pi r ), Och bredden är höjden (\(h )) av cylindern.

Så, Formeln för en cylinders sidoytan härleds enligt följande:\(LSA = C gånger h = 2 pi r gånger h = 2 pi rh )

Den totala ytan på en cylinder inkluderar sidoytan och områdena i de två cirkulära baserna. Området för en enda cirkulär bas beräknas med formeln för en cirkelområde, \(A_{bas}= pi r^{2}\). Eftersom det finns två baser, Deras kombinerade område är \(2\pi r^{2}\).

Lägga till sidoytan till området för de två baserna, Vi får formeln för den totala ytan:\(Tsa = lsa + 2A_{bas}= 2 pi hr + 2\pi r^{2}= 2 pi r(h + r)\)

Volymen på en cylinder representerar mängden utrymme den upptar. Formeln för en cylindervolym är baserad på principen att volymen på något prisma (och en cylinder kan betraktas som ett cirkulärt prisma) är produkten från basen och höjden.

Eftersom området för den cirkulära basen är \(A_{bas}= pi r^{2}\) Och cylinderns höjd är \(h ), formeln för volymen (\(V )) av en cylinder är:\(V = pi r^{2}h )

Vid tillverkning av cylindriska behållare som färgburkar eller matburkar, Beräkning av ytan hjälper till att bestämma mängden material som behövs för produktion. Till exempel, En tillverkare kan använda den totala ytan för ytan för att uppskatta hur mycket metallplåt som krävs för att göra en burk, factoring i både den böjda sidan och toppen och bottenlocken. Volymformeln används för att säkerställa att behållaren kan hålla den angivna mängden av produkten. Om en färgburk är utformad för att hålla 1 litter av färg, Tillverkaren använder volymformeln för att ställa in lämpliga radie och höjddimensioner.

I konstruktion, Cylindriska kolumner är vanliga strukturella element. Ingenjörer använder volymformeln för att beräkna mängden betong som behövs för att kasta en kolumn. Genom att känna till önskad höjd och kolumnens radie, De kan exakt beställa rätt mängd betong, minska avfallet och säkerställa byggnadens strukturella integritet. Ytan - Områdesberäkningar är användbara för att bestämma mängden material som behövs för efterbehandling, som färg eller dekorativa beläggningar.

Ingenjörer som designar rör för vattenförsörjning eller dräneringssystem förlitar sig på volymformeln för att säkerställa att rören kan hantera den nödvändiga flödeshastigheten för vätskor. Ytan - Områdesberäkningar är viktiga för isoleringsdesign, hjälper till att bestämma hur mycket isoleringsmaterial som behövs för att täcka rören och upprätthålla den önskade temperaturen på vätskan inuti.

Som en inköpsmäklare, En djup förståelse av området och volymen av cylindrar är ovärderlig när du hjälper kunder. När en klient behöver cylindriska lagringstankar, beräkna exakt volymen med formeln \(V = pi r^{2}h ) hjälper till att bestämma lämplig storlek för att uppfylla deras lagringskrav. Vi kan sedan källa till tankar från leverantörer som erbjuder den bästa kombinationen av dimensioner, materiell kvalitet, och kostnad - effektivitet.

För kunder inom tillverkningsindustrin som behöver cylindriska komponenter, ytan - Områdesformler är avgörande. Om en klient behöver beställa plåt för tillverkning av cylindriska delar, Vi kan använda den totala ytan formel \(Av = 2 pi r(h + r)\) För att beräkna den exakta mängden material som behövs, minimera avfall och kostnad. Dessutom, Att förstå dessa formler gör att vi kan kommunicera effektivt med leverantörer, Se till att de produkter vi käller upp möter klienternas exakta specifikationer när det gäller både kapacitet och materialanvändning. Oavsett om det är för en liten - skalproduktionskörning eller en stor - industriprojekt, Vår kunskap om cylinderområde och volymberäkningar hjälper oss att ge kunder de mest lämpliga produkterna och lösningarna.

Med tanke på volymformeln \(V = pi r^{2}h ), Du kan lösa för radien (\(r )). Första, ordna om formeln för att isolera \(r^{2}\): \(r^{2}= frac{V}{\pi h}\). Sedan, Ta kvadratroten på båda sidor för att hitta \(r ): \(r = sqrt{\frac{V}{\pi h}}\). Se bara till att använda konsekventa enheter för volym och höjd i dina beräkningar.

För sidoytan (\(LSA = 2pi rh)), När radien fördubblas (\(r ) bli \(2r )) och \(h ) förblir konstant, den nya sidoytan \(Lsa_{ny}= 2 pi(2r)H = 4 pi hr ), vilket är två gånger den ursprungliga sidoytan.

För den totala ytan (\(Av = 2 pi r(h + r)\)), den nya totala ytan \(Tsa_{ny}= 2 pi(2r)(h + 2r)= 4 pi r(h + 2r)\). Utvidga detta ger \(Tsa_{ny}= 4 pi rh+8 pi r^{2}\). Jämfört med originalet \(Tsa = 2 pi rh+2 pi r^{2}\), Den totala ytan ökar, men inte med en enkel fördubblingfaktor eftersom förhållandet involverar både radie och höjdvillkor.

Volymformeln \(V = pi r^{2}h ) kan appliceras på en sned cylinder, där \(h ) representerar den vinkelräta höjden (det kortaste avståndet mellan de två baserna). Dock, ytan - Områdesformler för en högercylinder behöver modifiering för en sned cylinder. Den böjda ytan på en sned cylinder, När de rullas upp, bildar inte en enkel rektangel som i fallet med en högercylinder, Så mer komplexa matematiska metoder krävs för att beräkna sido- och totala ytområden exakt. I de flesta praktiska tillämpningar, för sneda cylindrar, Ingenjörer använder ofta tillnärmningar eller avancerade geometriska tekniker beroende på den nivå av precision som behövs.