Ποια είναι η περιοχή και ο όγκος ενός κυλίνδρου?

Ένας κύλινδρος είναι τρεις - Διασδιάστατο γεωμετρικό στερεό με δύο συμπαγείς, παράλληλες κυκλικές βάσεις που συνδέονται με καμπύλη επιφάνεια. Το τμήμα γραμμής που ενώνει τα κέντρα των δύο βάσεων ονομάζεται άξονας του κυλίνδρου. Όταν ο άξονας είναι κάθετος στις βάσεις, Είναι ένας σωστός κύλινδρος, που είναι ο πιο συχνά μελετημένος τύπος. Οι βασικές μετρήσεις για έναν κύλινδρο είναι οι ακτίνα (\(r )) της κυκλικής βάσης και ο ύψος (\(h )) του κυλίνδρου, που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό τόσο της περιοχής όσο και του όγκου.

Η επιφάνεια ενός κυλίνδρου μπορεί να χωριστεί σε δύο κύρια συστατικά: ο πλευρική επιφάνεια και ο συνολική επιφάνεια.

Η πλευρική επιφάνεια αναφέρεται στην περιοχή της καμπύλης επιφάνειας που περιτυλίγεται γύρω από τον κύλινδρο, εξαιρουμένων των δύο κυκλικών βάσεων. Για να καταλάβετε πώς να το υπολογίσετε, Φανταστείτε "ξετυλίξτε" την καμπύλη επιφάνεια του κυλίνδρου. Όταν πεπλατυσμένος, σχηματίζει ένα ορθογώνιο. Το μήκος αυτού του ορθογωνίου είναι ίσο με την περιφέρεια της κυκλικής βάσης, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο \(C = 2 pi r ), Και το πλάτος είναι το ύψος (\(h )) του κυλίνδρου.

Ετσι, Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια ενός κυλίνδρου προέρχεται ως εξής:\(Lsa = c times h = 2 pi r times h = 2 pi rh )

Η συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου περιλαμβάνει την πλευρική επιφάνεια και τις περιοχές των δύο κυκλικών βάσεων. Η περιοχή μιας μόνο κυκλικής βάσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για την περιοχή ενός κύκλου, \(ΕΝΑ_{βάση}= pi r^{2}\). Δεδομένου ότι υπάρχουν δύο βάσεις, Η συνδυασμένη περιοχή τους είναι \(2\pi r^{2}\).

Προσθήκη της πλευρικής επιφάνειας στην περιοχή των δύο βάσεων, Παίρνουμε τη φόρμουλα για τη συνολική επιφάνεια:\(TSA = LSA + 2ΕΝΑ_{βάση}= 2 pi HR + 2\pi r^{2}= 2 pi r(h + r )\)

Ο όγκος ενός κυλίνδρου αντιπροσωπεύει το ποσό του χώρου που καταλαμβάνει. Ο τύπος για τον όγκο ενός κυλίνδρου βασίζεται στην αρχή ότι ο όγκος οποιουδήποτε πρίσματος (Και ένας κύλινδρος μπορεί να θεωρηθεί ως κυκλικό πρίσμα) είναι το προϊόν της περιοχής της βάσης και του ύψους.

Δεδομένου ότι η περιοχή της κυκλικής βάσης είναι \(ΕΝΑ_{βάση}= pi r^{2}\) Και το ύψος του κυλίνδρου είναι \(h ), ο τύπος για τον όγκο (\(V )) είναι:\(V = pi r^{2}h )

Στην κατασκευή κυλινδρικών εμπορευματοκιβωτίων όπως δοχεία βαφής ή κουτάκια τροφίμων, Ο υπολογισμός της επιφάνειας βοηθά στον προσδιορισμό της ποσότητας του υλικού που απαιτείται για την παραγωγή. Για παράδειγμα, Ένας κατασκευαστής μπορεί να χρησιμοποιήσει τον συνολικό τύπο επιφάνειας για να εκτιμήσει πόσα μεταλλικά φύλλο απαιτείται για να φτιάξει ένα κουτί, παράγοντας τόσο στην καμπύλη πλευρά όσο και στα επάνω και κάτω καπάκια. Ο τύπος όγκου χρησιμοποιείται για να διασφαλίσει ότι το δοχείο μπορεί να κρατήσει την καθορισμένη ποσότητα του προϊόντος. Εάν ένα δοχείο χρώματος έχει σχεδιαστεί για να κρατάει 1 λίτρο χρώματος, Ο κατασκευαστής χρησιμοποιεί τον τύπο έντασης ήχου για να ρυθμίσει τις κατάλληλες διαστάσεις ακτίνας και ύψους.

Σε κατασκευή, Οι κυλινδρικές στήλες είναι κοινά δομικά στοιχεία. Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν τον τύπο έντασης ήχου για να υπολογίσουν την ποσότητα σκυροδέματος που απαιτείται για να ρίξετε μια στήλη. Γνωρίζοντας το επιθυμητό ύψος και την ακτίνα της στήλης, Μπορούν να παραγγείλουν με ακρίβεια τη σωστή ποσότητα σκυροδέματος, Μείωση των αποβλήτων και εξασφάλιση της δομικής ακεραιότητας του κτιρίου. Η επιφάνεια - Οι υπολογισμοί περιοχής είναι χρήσιμοι για τον προσδιορισμό της ποσότητας του υλικού που απαιτείται για το φινίρισμα, όπως βαφές ή διακοσμητικές επικαλύψεις.

Οι μηχανικοί που σχεδιάζουν σωλήνες για παροχή νερού ή συστήματα αποστράγγισης βασίζονται στον τύπο όγκου για να εξασφαλίσουν ότι οι σωλήνες μπορούν να χειριστούν τον απαιτούμενο ρυθμό ροής των υγρών. Η επιφάνεια - Οι υπολογισμοί περιοχής είναι σημαντικοί για τον σχεδιασμό μόνωσης, Βοηθώντας στον προσδιορισμό του ποσού μόνωσης που απαιτείται για την κάλυψη των σωλήνων και τη διατήρηση της επιθυμητής θερμοκρασίας του υγρού μέσα.

Ως πράκτορας προμήθειας, Η βαθιά κατανόηση της περιοχής και του όγκου των κυλίνδρων είναι ανεκτίμητη όταν βοηθά τους πελάτες. Όταν ένας πελάτης χρειάζεται κυλινδρικές δεξαμενές αποθήκευσης, Υπολογισμός του τόμου χρησιμοποιώντας τον τύπο \(V = pi r^{2}h ) Βοηθά στον προσδιορισμό του κατάλληλου μεγέθους για την κάλυψη των απαιτήσεων αποθήκευσης. Μπορούμε στη συνέχεια να προωθήσουμε δεξαμενές από προμηθευτές που προσφέρουν τον καλύτερο συνδυασμό διαστάσεων, ποιότητα υλικού, και κόστος - αποτελεσματικότητα.

Για τους πελάτες της μεταποιητικής βιομηχανίας που απαιτούν κυλινδρικά εξαρτήματα, η επιφάνεια - Οι τύποι περιοχής είναι κρίσιμοι. Εάν ένας πελάτης πρέπει να παραγγείλει φύλλο μετάλλου για την κατασκευή κυλινδρικών τμημάτων, Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνολική φόρμουλα επιφάνειας \(= 2 pi r(h + r )\) Για να υπολογίσετε την ακριβή ποσότητα υλικού που απαιτείται, ελαχιστοποιώντας τα απόβλητα και το κόστος. Επιπλέον, Η κατανόηση αυτών των τύπων μας επιτρέπει να επικοινωνούμε αποτελεσματικά με τους προμηθευτές, Εξασφαλίζοντας ότι τα προϊόντα που προέρχονται από τις ακριβείς προδιαγραφές των πελατών όσον αφορά τη δυνατότητα και τη χρήση υλικών. Είτε πρόκειται για ένα μικρό - Κλίμακα παραγωγής ή μεγάλη - Βιομηχανικό έργο κλίμακας, Οι γνώσεις μας για τους υπολογισμούς της περιοχής και του όγκου του κυλίνδρου μας βοηθούν να παρέχουμε στους πελάτες τα καταλληλότερα προϊόντα και λύσεις.

Δεδομένης της φόρμουλας όγκου \(V = pi r^{2}h ), Μπορείτε να λύσετε για την ακτίνα (\(r )). Πρώτα, αναδιατάξτε τη φόρμουλα για απομόνωση \(r^{2}\): \(r^{2}= frac{V}{\pi h}\). Τότε, Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να βρείτε \(r ): \(r = sqrt{\φουρκέτα{V}{\pi h}}\). Απλά φροντίστε να χρησιμοποιήσετε συνεπείς μονάδες για όγκο και ύψος στους υπολογισμούς σας.

Για την πλευρική επιφάνεια (\(LSA = 2 pi rh )), Όταν η ακτίνα διπλασιαστεί (\(r ) γίνεται \(2r )) και \(h ) παραμένει σταθερό, η νέα πλευρική επιφάνεια \(LSA_{νέος}= 2 pi(2r )H = 4 pi hr ), που είναι διπλάσιο της αρχικής πλευρικής επιφάνειας.

Για τη συνολική επιφάνεια (\(= 2 pi r(h + r )\)), η νέα συνολική επιφάνεια \(Tsa_{νέος}= 2 pi(2r )(h + 2r )= 4 pi r(h + 2r )\). Η επέκταση αυτού δίνει \(Tsa_{νέος}= 4 pi rh+8 pi r^{2}\). Σε σύγκριση με το πρωτότυπο \(Tsa = 2 pi rh+2 pi r^{2}\), Η συνολική επιφάνεια αυξάνεται, Αλλά όχι από έναν απλό παράγοντα διπλασιασμού, καθώς η σχέση περιλαμβάνει τόσο την ακτίνα όσο και τους όρους ύψους.

Ο τύπος έντασης ήχου \(V = pi r^{2}h ) μπορεί να εφαρμοστεί σε έναν λοξό κύλινδρο, όπου \(h ) αντιπροσωπεύει το κάθετο ύψος (Η συντομότερη απόσταση μεταξύ των δύο βάσεων). Ωστόσο, η επιφάνεια - Οι τύποι περιοχής για έναν σωστό κύλινδρο χρειάζονται τροποποίηση για έναν λοξό κύλινδρο. Η καμπύλη επιφάνεια ενός λοξού κυλίνδρου, Όταν ξετυλίγεται, δεν σχηματίζει ένα απλό ορθογώνιο όπως στην περίπτωση ενός δεξιού κυλίνδρου, Έτσι απαιτούνται πιο περίπλοκες μαθηματικές μέθοδοι για τον υπολογισμό των πλευρικών και των συνολικών επιφανειών με ακρίβεια. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, για λοξούς κυλίνδρους, Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν συχνά προσεγγίσεις ή προηγμένες γεωμετρικές τεχνικές ανάλογα με το επίπεδο ακρίβειας που απαιτείται.